函数的二阶导数的意义,势能的二阶导数的物理意义是什么?


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势能一般是空间位置坐标的函数,我们可以把它写成v(x),其中x就是空间位置坐标。

当我们对势能求导的时候,把话说明白了,就是把势能函数v(x)对空间位置坐标x求导,这个求导的结果其实就是力。比如说,当我们对重力势能求导的时候,得到的结果就是重力。当我们对弹性势能求导的时候,我们得到的是弹力。

以上讲到了一阶导数的情况。

如果我们对势能函数求二阶导数,那么相当于就是在前面写到的基础上再求一次导数。那么,本质上我们相当于对力求一阶导数,最后的物理意义就是力在空间的变化量。比如对于弹簧来说,那就是弹簧不同拉升位置的力的变化量。对于重力来说,因为重力在空间各个位置都相等,所以变化量就等于零了。这就是你所要求的物理意义。

因此,以上我其实已经回答了你的问题。

当然了,在这里你可能是对导数的物理意义不是很懂,我可以多说几句。导数,无论是一阶还是二阶,都是求变化量。只不过二阶导数你可以看成是先求一阶导数,然后在这个基础上再求一阶导数。

在你的问题中,你问的不是很清楚,其实势能函数还可能是时间的函数,在那种情况下,你就要说清楚求导到底是对空间坐标来做的还是对时间坐标来做的,因为它们是有区别的,物理意义也是不一样的。

这里,我默认提问者想要知道的是势能函数关于坐标的导数。

势能函数的一阶导数反映的是势能本身的变化率,这个变化率其实就是「力」。

那么很容易想象,二阶导数就是力的「导数」,在线性弹簧或者均匀的重力场电场等问题中,二阶导数会等于零。

通常来说,我们之所以要计算势能的二阶导数,其实是因为一阶导数不能为我们提供太多的信息了,在高维情况下,这个二阶导数可以用 Hessian 矩阵来描述。

这里我们考虑最简单的一维情况,例如,一个系统处在平衡位置(想象一个处在平衡点的弹簧振子或者单摆),这个系统处在平衡状态,所以一阶导数恒等于零。这时,如果我们想要分析在这样一个平衡点附近的稳定性情况,我们就必须要计算二阶导数。

那么我们可以想象一下,二阶导数到底告诉我们的是什么信息。假如就是一个二次函数,那么我们知道,二阶导数得到的就是二次项系数,这个二次项系数与曲线的开口大小是有关的。

二阶导数为正数的时候,二次项系数越大,二次函数(势能函数)开口就越小,开口越小就意味着,如果我们给系统一个扰动,这个系统会很快恢复到原来的点附近(可以想象一下在抛物线里面放上一个小球,给小球一个扰动,分析小球的位置涨落)。而二次项系数越小,势能函数开口就越大,这时如果我们给系统一个扰动,这个系统在平衡点附近产生比较大的振荡。

当二阶导数等于零的时候,系统有无数个平衡位置,此时的系统处在随遇平衡的状态。

二阶导数为负数的时候,开口向下,系统处在不稳定平衡的状态,随便一个扰动就能让系统的能量降低。